2. Modeling of b-spline curves of high quality

2. Моделирование b-сплайновых кривых высокого качества

Repeat steps 1.1 and 1.2. (Example 1).

Повторите пункты 1.1, 1.2. (Example 1).

2.1. Creation of b-spline curve of degree m = 6

2.1. Построение b-сплайновой кривой степени m = 6

In the region Approximation switch radio button (*) by b-spline. Set the degree of the spline m = 6 in the text box Degree [...].

Click [Create].

Включите в регионе Approximation переключатель (*) by b-spline. Установите степень сплайна m = 6 в текстовом поле Degree[…]. 

Нажмите кнопку [Create].

Fig. 9. Approximation by b-spline curve of degree m = 6

Рис. 9. Аппроксимация b-сплайновой кривой степени m = 6.

 

Copy the text from the text field “Instructions and Messages” the parameters of the built b-spline curve to a notebook.

Quality Params of Curve:

Length = 628.4686218052126

Max Curvature = 0.010194911534591589

Min Curvature = 0.009822714205604472

Potential Energy = 0.06280748313036714

Скопируйте из текстового поля  Instructions and Messages” в блокнот параметры построенной b-сплайновой кривой.

Quality Params of Curve:

Length = 628.4686218052126

Max Curvature = 0.010194911534591589

Min Curvature = 0.009822714205604472

Potential Energy = 0.06280748313036714

2.2. Creation of b-spline curve of degree m = 8

2.2. Построение b-сплайновой кривой степени m = 8

 

Then repeat the creation of b-spline curve of degree 8.

Затем повторите построение b-сплайновой кривой со степенью 8.

Fig. 10. Approximation by b-spline curve of degree m = 8

Рис. 10. Аппроксимация b-сплайновой кривой степени m = 8

 

Copy the text from the text field “Instructions and Messages” the parameters of the built b-spline curve to a notebook.

Quality Params of Curve:

Length = 628.4292338542845

Max Curvature = 0.010052437098011756

Min Curvature = 0.009955185823318653

Potential Energy = 0.06280652686599163

 

Запишите параметры в блокнот

Quality Params of Curve:

Length = 628.4292338542845

Max Curvature = 0.010052437098011756

Min Curvature = 0.009955185823318653

Potential Energy = 0.06280652686599163

2.3. Creation of b-spline curve of degree m = 10

2.3. Построение b-сплайновой кривой 10-ой степени

Then create the b-spline curve of degree 10.

Затем постройте b-сплайновую кривую со степенью 10.

Fig. 11. Approximation by b-spline curve of degree m = 10

Рис. 11. Аппроксимация b-сплайновой кривой степени m = 10

Copy the text from the text field “Instructions and Messages” the parameters of the built b-spline curve to a notebook.

Quality Params of Curve:

Length = 628.4239566283096

Max Curvature = 0.010039413378914824

Min Curvature = 0.009944895743134296

Potential Energy = 0.06280699929556782

 

Запишите параметры в блокнот.

Quality Params of Curve:

Length = 628.4239566283096

Max Curvature = 0.010039413378914824

Min Curvature = 0.009944895743134296

Potential Energy = 0.06280699929556782

Compare the parameters in the notebook of created b-spline curves of degrees 6, 8, 10. Calculate and compare the values of the curvature fluctuations

(-  0.010194911534591589 0.009822714205604472), (- 0.010052437098011756 0.009955185823318653), (- 0.010039413378914824 0.009944895743134296) =  0.000372197, 9.72513e-005, 9.45176e-005.

 

Сравните в блокноте параметры построенных b-сплайновых кривых степеней 6, 8, 10. Вычислите и сравните значения биений кривизны

(-  0.010194911534591589 0.009822714205604472), (- 0.010052437098011756 0.009955185823318653), (- 0.010039413378914824 0.009944895743134296) =  0.000372197, 9.72513e-005, 9.45176e-005.

 

2.4. Writing NURBS model to CAD systems

2.4. Запись NURBS модели в CAD системы

 

Web > AutoCAD

Writing is similar writing NURBzS model (see section 1.3).

 

Web > AutoCAD

Запись производится аналогично записи NURBzS модели (см. п. 1.3).

 

Web> KOMPAS 3D

 

If the curve is flat, the writing of NURBS model is similar writing NURBzS model (see section 1.3).

Spatial b-spline curve on a uniform grid can be written in KOMPAS 3D. Build a b-spline curve of degree 8. When working with KOMPAS 3D use degree 8, as the 10th degree of the spline will require in KOMPAS 3D setting the 11-th order of NURBS, which is not supported by COMPASS. Click [NURBS Model to KOMPAS 3D]. Select the text in the text box “Instructions and Messages” and copy to the Clipboard. Open the notebook. Paste the copied text, and save the file with extension *. txt.

In the KOMPAS 3D, create or open a document 3D. To construct a spline from the data table, do operations - Spatial curves - Spline at the poles - Read from file - Specify the file with table of coordinates of points and weights of s-polygon. Specify the order of the spline. The order of the spline is one more than the degree of the spline, given in the web-application.

 

Web > КОМПАС 3D

 

Если кривая плоская, то запись NURBS модели производится аналогично записи NURBzS модели (см. п. 1.3).

Пространственную b-сплайновую кривую на равномерной сетке можно записать в КОМПАС 3D. Постройте b-сплайновую кривую степени 8. При работе с КОМПАС 3D используйте степени не выше 8, так как 10-ая степень сплайна потребует в КОМПАС 3D задания 11-го порядка NURBS, который в КОМПАС 3D не поддерживается.  Нажмите кнопку [NURBS Model to KOMPAS 3D]. Выделите текст в текстовом поле  Instructions and Messages” и скопируйте в Clipboard. Откройте блокнот. Вставьте скопированный текст  и сохраните в файл расширением *.txt.

В КОМПАС 3D создайте или откройте документ 3D. Для построения сплайна по данным таблицы выполните Операции - Пространственные кривые - Сплайн по полюсам - Читать из файла - Укажите файл таблицы с координатами точек и весовыми коэффициентами s-полигона. Укажите порядок сплайна. Порядок сплайна на единицу больше степени сплайна, заданной в web-приложении. 

Fig. 12. Writing b-spline curve of degree 8 in the KOMPAS 3D.

Рис. 12. Запись b-сплайновой кривой 8-ой степени в КОМПАС 3D.

 

By default, generated b-spline curves in the closed (clamped) format. In this case, when writing NURBS curve to KOMPAS 3D in KOMPAS 3D set the option “is not closed”.

In KOMPAS 3D can write a closed b-spline curve in the closed (float) format. For this purpose, web-application before building b-spline curve in the region switch the Format radio button (*) Float. When writing NURBS curve to KOMPAS 3D in KOMPAS 3D set the option “is closed”.

 

По умолчанию создаются b-сплайновые кривые в закрытом (clamped) формате. В этом случае при записи в КОМПАС 3D установите опцию незамкнутости NURBS кривой.

В КОМПАС 3D можно записать замкнутую b-сплайновую кривую в замкнутом (float) формате. Для этого в web-приложении перед построением b-сплайновой кривой включите в регионе Format переключатель (*) Float. При записи параметров b-сплайновой кривой из таблицы в КОМПАС 3D установите опцию замкнутости NURBS кривой.

 

2.5. Analysis NURBS curve in MathCAD

2.5. Анализ NURBzS кривой в MathCAD

 

After the creation of b-spline curve of degree m = 10, go to page NURBS3D (button [To B-Spline]). Click [NURBS Model to MathCAD].

Select and copy the text from the “Instructions and Messages”.

После построения b-сплайновой кривой степени m = 10 перейдите на страницу NURBS3D (кнопка [To B-Spline]). Нажмите кнопку  [NURBS Model to MathCAD].

Выделите и скопируйте текст из поля  Instructions and Messages”.

Fig. 13. Writing NURBS model of the curve to MathCAD.

Рис.  13. Запись NURBS модели кривой в MathCAD.

 

Open the workbook in Excel. Paste on Sheet1 copied text, starting at cell A1.

Откройте книгу Excel. Вставьте на листе Лист1 скопированный текст, начиная с ячейки A1.

Fig. 14. The intermediate writing of parameters NURBS model in Excel.

Рис. 14. Промежуточная запись параметров NURBS модели в Excel.

 

For the analysis is used the document 'Analyze NURBS. xmcd ' of MathCAD. With the help of a document can be viewed with the scheme of transfer of NURBS model of Web- application to MathCAD and analysis of NURBS curve in MathCAD.

Для анализа используется документ 'Analyze NURBS. xmcd '  MathCAD.  С помощью документа можно ознакомиться со схемой переноса NURBS модели из Web-приложения в MathCAD и проведения анализа NURBS кривой в MathCAD .

The document analyzes the NURBS curve, draws graphs of the curve and the curvature, and calculates the potential energy of the curve. Program of analysis of NURBS curves in a document developed by the authors. Edit the document to analyze the accuracy of the approximation of the circle by NURBS curve.

Документ проводит анализ NURBS кривой,  рисует графики кривой и кривизны, вычисляет потенциальную энергию кривой. Программы анализа  NURBS кривых произвольных степеней в документе разработаны авторами.  Отредактируйте документ для анализа точности аппроксимации окружности NURBS  кривой.

Before paragraph "3.3 .. Calculation of curve " execute Menu> Insert> Component ... > MS Excel.

Specify that the parameters are read from an existing book.

Set the zero number of input parameters.

Install the four output parameters, the coordinates X, Y, Z of interpolated points, the weights W and vector D of dots. Specify to them by column the cell ranges. The column of vector D of dots has more of cells.

 

Перед пунктом  “3.3.. Расчет характеристик кривой”  выполните команду Menu > Insert > Component ... >MS Excel.

Укажите, что параметры считываются из существующей книги.

Установите нулевое количество входных параметров.

Установите 5 выходных параметра, для координат X,Y,Z интерполированных точек, весов W и вектора D узловых точек.  Укажите для них по столбцам диапазоны ячеек. Столбец вектора D узловых имеет больше ячеек.

Fig. 15. Reading of parameters of NURBS model to  MathCAD.

Рис. 15. Чтение параметров NURBS модели в MathCAD.

Press the [Finish].

A vector is a column with placeholders for the names of variables and plot the book page Excel.

In placeholders, enter the variable names VX, VY, VZ, VW, VD for vectors of columns whose coordinates are the values of sells of columns of the site of the page of the book Excel.

Specify also the values of variables u_degree = 3, u_cntr_plg = 3, u_segm = 6. The values ​​of variables can be found from the field of “Instructions and Messages” after you press the [Prepare Data]: … ("u_degree" 10)("u_cntr_plg" 2)("u_delta" 1.0e-007)("u_itera" 500)("u_segm" 12)("u_bnd_st" 2) ….

The document draws the graph of NURBS curve and the curvature graph.

 

Нажмите кнопку [Готово].

Появится вектор столбец с placeholder'ами для имен переменных и участок страницы книги Excel.

В placeholder'ы введите имена переменных VX, VY, VZ, VW, VD для векторов столбцов, координаты которых равны значениям ячеек столбцов  участка страницы книги Excel.

Задайте также значения переменным u_degree = 10, u_cntr_plg = 2,  u_segm = 12. Значения переменных можно узнать из поля  Instructions and Messages” после нажатия кнопки [Prepare Data]:  ("u_degree" 10)("u_cntr_plg" 2)("u_delta" 1.0e-007)("u_itera" 500)("u_segm" 12)("u_bnd_st" 2) ….

В документе рисуется график NURBS кривой и график кривизны (рис. 16).

Fig. 16. Graphs of NURBS curve and of the curvature.

Рис. 16. Гафики NURBS кривой 10-ой степени и кривизны NURBS кривой.

The magnitude of the curvature fluctuations < 0.0001. In creating of the b-spline curve in the web-application, the accuracy of delta = 0.0000001 limits the maximum error of approximation (the maximum distance from the points of base polyline to b-spline curve).

 

Величина биения кривизны < 0.0001. При построении b-сплайновой кривой в web-приложении точность delta = 0.0000001 ограничивает максимальную погрешность приближения  (максимальное расстояние точки опорной ломаной от b-сплайновой кривой).