1. Modeling NURBzS-curves of high quality

1. Моделирование NURBzS-кривых высокого качества

The most indicative test - a curve fit to the points of the circle. The test gives an unambiguous answer to the question about the quality of the curve constructed by this method. From the condition of the requirements of minimizing the number of extrema of curvature is obvious that the curve is really high quality (Class A) must coincide with the circle.

Наиболее показательный тест - построение кривой на точках окружности. Тест дает однозначный ответ на вопрос  о качестве кривой,  построенной данным методом. Из условия требования минимизации количества экстремумов кривизны, очевидно, что кривая действительно высокого качества (класса A) должна совпадать с окружностью.

1.1. Preparation of the data in the CAD-system

1.1. Подготовка данных в CAD-системе

Draw a circle of radius 100 in AutoCAD. Draw a 3D-polyline on a circle. Draw a closed NURBS curve (_SPLINE) on the points of the 3D-polyline (fig. 1).

Постройте  в AutoCAD окружность радиуса 100. Постройте 3D-ломаную  на окружности. Нарисуйте замкнутую NURBS кривую (_SPLINE) с привязкой к точкам ломаной (рис. 1).

Fig. 1. Spline drawn by points on a circle in AutoCAD.

Рис. 1. Сплайн, нарисованный по точкам на окружности в AutoCAD.

With the utility v_test.fas can be displayed graphs of the curvature of NURBS curves (fig. 2).

С помощью команд утилиты v_test.fas можно отобразить графики кривизны  NURBS кривых (рис. 1), вывести в протокол  AutoCAD общие параметры кривой вида максимальной и минимальной кривизны, значения потенциальной энергии кривой.

Fig. 2. The curvature graph of the spline.

Рис. 2. График кривизны сплайна

 

1.2. Improvement of the spline in a web-application

1.2. Улучшение сплайна в web-приложении

 

AutoCAD > Web-application

AutoCAD > Web-приложение

 

Insert the AutoCAD command prompt the following text

(entget (car (entsel "select NURBS")))

press ENTER, select the NURBS curve. Copy the part of Protocol from the text window of AutoCAD, containing DXF-model of the  NURBS curve

((-1. <Object name: 7ef9e460>) (0. "SPLINE") (330. <Object name: 7ef9ccf8>) ... (11 -99.6307 8.58586 0.0) (11 59.1859 -80.6042 0.0))

Paste the copied text of the DXF-model of the  NURBS curve in the text field [Instructions and Messages]. Click [NURBS model from AutoCAD], and then click [Create]. Web- application creates a cubic NURBzS curve and displays the graph of the curvature of the curve (fig. 3). Click [Draw Curvature as F (x)]. The graph of the curvature appears as a horizontal line.

Вставьте в командную строку AutoCAD следующий текст 
(entget (car (entsel "select NURBS"))) 
нажмите ENTER, выберите NURBS кривую. Скопируйте из текстового окна часть протокола AutoCAD, содержащую DXF-модель NURBS кривой

((-1 . <Имя объекта: 7ef9e460>) (0 . "SPLINE") (330 . <Имя объекта: 7ef9ccf8>)      (11 -99.6307 8.58586 0.0) (11 -80.6042 59.1859 0.0))
Вставьте скопированный текст DXF модели NURBS кривой в текстовое поле [Inst
ructions and Messages]. Нажмите кнопку [NURBS model from AutoCAD] и затем кнопку [Create].  Web-приложение построит кубическую NURBzS кривую и выведет график кривизны над кривой (рис. 3). Нажмите кнопку [Draw Curvature as F(x)]. График кривизны отобразится как горизонтальная линия.

 

В текстовое поле  [Instructions and Messages] выводятся глобальные параметры кривой: длина кривой, значения максимальной и минимальной кривизны, значение потенциальной энергии кривой. Для оценки качества кривой можно использовать значение потенциальной энергии упругой рейки, деформированной по контуру кривой. Значение равно интегралу квадрата кривизны по длине кривой.  Все физические константы и геометрические параметры сечения рейки приведены к единице. Считается, что, чем меньше значение потенциальной энергии кривой, тем качественнее кривая.

 

Fig. 3. Web-application creates a cubic NURBzS curve.

Рис. 3.  Web-приложение строит кубическую NURBzS кривую.

1.3. Writing NURBzS curve to CAD-systems

1.3. Запись NURBzS кривой в CAD-систему

 

Web-application  > AutoCAD 

Web-приложение  > AutoCAD 

 

For the writing the NURBzS model to AutoCAD from  web-application, click [NURBS Model to AutoCAD]. Then, select and copy the text in a multiline text field “Instructions and Messages”. Paste the copied text into the command line AutoCAD.

Для записи NURBzS модели в AutoCAD  из web-приложения нажмите кнопку [NURBS Model to AutoCAD]. Затем выделите и скопируйте текст в многострочном текстовом поле  Instructions and Messages”. Вставьте скопированный текст в командную строку AutoCAD. 

Fig. 4. Improved NURBzS curve in AutoCAD.

Рис. 4. Улучшенная NURBzS кривая в AutoCAD.

 

Visually, the Improved NURBzS curve coincides with the circle.

Визуально, улучшенная NURBzS кривая совпадает с окружностью. На рис. 4 выделены вершины gb-полигона рациональной кривой Безье.

 

Web-application > KOMPAS GRAPHIC

Web-приложение > КОМПАС ГРАФИК 

 

NURBzS curves are wrote in COMPAS GRAPHIC in the DXF-format files.

After creating the NURBzS model is transferred to the NURBzS3D page (button [To Bezier Spline]).

NURBzS кривые записываются в КОМПАС ГРАФИК в формате DXF-файлов.

После построения NURBS модели перейдите на страницу NURBzS 3D (кнопка [To Bezier Spline]).

Fig. 5. Opens a page NURBzS3D

Рис.  5.  Переход на страницу NURBzS3D

 

Is preliminary necessary to prepare a master DXF-file containing only the model of NURBS curve. Open the master DXF-file in Notebook. Highlight and copy the text to the Clipboard. Paste the copied text into the text box “Instructions and Messages”. Click [Set Sample DXF], and then click [Get DXF]. Select the text and copy the text to the Clipboard. Open Notepad and paste the copied text. Save the text file with the extension *. dxf. Go to COMPAS GRAPHIC (Fig. 6). Open the generated DXF-file.

Предварительно необходимо заготовить эталонный DXF-файл, содержащий только модель NURBS кривой. Откройте эталонный DXF-файл блокнотом. Выделите текст и скопируйте в Clipboard . Вставьте скопированный текст в текстовое поле  Instructions and Messages”. Нажмите  кнопку [Set Sample DXF] и затем кнопку [Get DXF]. Выделите текст и скопируйте текст в Clipboard. Откройте блокнот и вставьте скопированный текст. Сохраните текст в файл с расширением *.dxf. Перейдите в КОМПАС ГРАФИК (рис.6). Откройте сформированный DXF-файл.

Fig 6. Writing the NURBzS model of curve to the COMPAS GRAPHIC.

Рис 6. Запись NURBzS модели кривой в КОМПАС ГРАФИК.

1.4. Analysis NURBzS curve in MathCAD

1.4. Анализ NURBzS кривой в MathCAD

For a more sophisticated analysis of the NURBS model the document of MathCAD used.

Go to the page NURBzS3D (button [to Bezier Spline]).

Click [NURBS Model to MathCAD].

Highlight and copy the text from the “Instructions and Messages”.

Open the workbook in Excel. Paste on Sheet1 copied text, starting at cell A1

Для более тонкого анализа NURBS модели используется документ MathCAD.

Перейдите на страницу NURBzS 3D (кнопка [to Bezier Spline]).

Нажмите кнопку  [NURBS Model to MathCAD].

Выделите и скопируйте текст из поля  Instructions and Messages”.

Откройте книгу Excel. Вставьте на листе Лист1 скопированный текст, начиная с ячейки A1.

The document 'Analyze NURBS. xmcd ' of MathCAD is used for the analysis of NURBS model.

 With the help of the document can be viewed with the scheme of transfer of NURBS model from the Web-application to MathCAD and analysis of NURBS curve in MathCAD. Load the document.

Для анализа используется документ 'Analyze NURBS. xmcd '  MathCAD.  С помощью документа можно ознакомиться со схемой переноса NURBS модели из Web-приложения в MathCAD и проведения анализа NURBS кривой в MathCAD . Загрузите документ.

The document analyzes the NURBS curve, draws graphs of the curve and the curvature, and calculates the potential energy of the curve. Program of analysis of NURBS curves in a document developed by the authors. Edit the document to analyze the accuracy of the approximation of the circle NURBzS curve.

Документ выполняет анализ NURBS кривой,  рисует графики кривой и кривизны, вычисляет потенциальную энергию кривой. Программы анализа  NURBS кривых в документе разработаны авторами.  Отредактируйте документ для анализа точности аппроксимации окружности NURBzS  кривой.

Before paragraph "3.3  ... Calculation of curve» execute Menu> Insert> Component ... > MS Excel.

Specify that the parameters are read from an existing book.

Set the zero number of input parameters.

Install the four output parameters, the coordinates X, Y, Z of interpolated points, the weights W. Specify to them by column the cell ranges.

Перед пунктом  “3.3.. Расчет характеристик кривой”  выполните команду Menu > Insert > Component ... >MS Excel.

Укажите, что параметры считываются из существующей книги.

Установите нулевое количество входных параметров.

Установите 4 выходных параметра, для координат X,Y,Z интерполированных точек, весов W.  Укажите для них по столбцам диапазоны ячеек.

Fig. 7. Transferring of NURBzS model to MathCAD.

Рис. 7. Перенос NURBzS модели в MathCAD.

 

Press the [Finish].

A vector is a column with placeholders for the names of variables and plot the book page Excel.

In placeholders, enter the variable names BX, BY, BZ, BW for vectors of columns whose coordinates are the values of sells ​​of columns of the site of the page of the book Excel.

Specify also the values of variables u_degree = 3, u_cntr_plg = 3, u_segm = 6. The values ​​of variables can be found from the field of “Instructions and Messages” after you press the [Prepare Data]: ... ("u_degree" 3) ("u_cntr_plg" 3) ("u_delta" 1.0e-007) ("u_itera" 500) ("u_segm" 6) ("u_bnd_st" 2)...

The document draws the graph of NURBS curve and the curvature graph

Нажмите кнопку [Готово].

Появится вектор столбец с placeholder'ами для имен переменных и участок страницы книги Excel.

В placeholder'ы введите имена переменных BX, BY, BZ, BW для векторов столбцов, координаты которых равны значениям ячеек столбцов участка страницы книги Excel.

Задайте также значения переменным u_degree = 3, u_cntr_plg = 3,  u_segm = 6. Значения переменных можно узнать из поля  Instructions and Messages” после нажатия кнопки [Prepare Data]:  ("u_degree" 3)("u_cntr_plg" 3)("u_delta" 1.0e-007)("u_itera" 500)("u_segm" 6)("u_bnd_st" 2) ...

В документе рисуется график NURBS кривой и график кривизны

Fig. 8. Graphs of NURBzS curve and of the curvature.

Рис. 8. Графики NURBzS кривой и кривизны NURBzS кривой.

 

The magnitude of the curvature fluctuations < 0.00000001. In creating of the v-curve in the web-application, the accuracy of delta = 0.0000001 limits the maximum error in constructing a set of conic curves of double-contact form of the difference of unit tangent vectors of the last two iterations of the approximation.

Величина биения кривизны < 0.00000001. При построении v-кривой в web-приложении точность delta = 0.0000001 ограничивает максимальную погрешность построения множества конических кривых двойного соприкосновения вида разности единичных касательных векторов двух последних итераций приближения.