Подготовка NURBS шаблонов аналитических кривых








Аналитические кривые

В инженерных задачах могут потребоваться аналитические кривые со специфическими свойствами. Такие кривые могут быть выведены аналитически из решения конкретных инженерных задач.

Мощным резервом дизайнера является целая палитра аналитических кривых, т.н. замечательных кривых.



NURBS шаблоны кривых.

В настоящее время в CAD-системах в качестве шаблонов аналитических кривых (в качестве универсального внутреннего представления кривых) используются NURBS-кривые.

К NURBS кривым точным образом приводятся кривые второго порядка.

К NURBS кривым аппроксимационно приводятся пространственные спирально-винтовые линии, эквидистанты к плоским кривым.


При аппроксимации аналитических кривых сплайнами можно использовать не только ломаные опорных точек, но и дифференциальные характеристики аналитических кривых в этих точках.


В инженерной геометрии при аппроксимации используются не дифференциальные характеристики вида производных различного порядка, а геометрические характеристики вида касательных прямых, векторов кривизны и кручения. Такая схема аппроксимация называется аппроксимацией по схеме Эрмита, а совокупность геометрических параметров геометрическим определителем Эрмита.



Для геометрически устойчивой аппроксимации аналитических кривых авторами был предложени изогеометрический метод аппроксимации по схеме Эрмита кубической NURBzS кривой [2]. В качестве исходных данных используется опорная ломаная с фиксированными касательным и векторами кривизны в точках опорной ломаной.



В качестве примера аппрокимации аналитической кривой в данной работе используется клотоида (спираль Корню) [3]. Клотоида обладает поистине замечательным свойством: линейным законом изменения кривизны по длине кривой, начиная с нулевого значения. Клотоидные сплайны 2-го порядка гладкости (сплайны составленные из отрезков, окружностей и дуг клотоиды) находят широкое применение в CAD системах.


Считается также, что дуга упругой рейки (физического сплайна) между двумя грузиками из набора грузиков, фиксирующих форму физического сплайна, имеет линейный закон изменения кривизны [3]. То есть точно аппроксимируется дугой клотоиды.



Построение NURBS шаблона клотоиды. Методические указания.

Формула клотоиды (спирали Корню)

Подготовим участок клотоиды на отрезке 0<= t <= 3

Вычислим первые и вторые производные

Вычислим кривизну

График участка колотоиды на отрезке 0<= t <= 3

График кривизны клотоиды

Для построения NURBzS сплайна по схеме Эрмита подготовим опорную ломаную из 21 точек с фиксированными касательными векторами и значениями кривизны

Опорные точки

Векторы первых производных (касательные векторы)

Кривизна

Значения задаются в координате X

Векторы кривизны

Для плоской кривой задаются нулевые векторы

График ломаной

График кривизны

Подготовим NURBzS шаблон клотоиды для САПР.

Для этого используем программу FCModeler View на платформе Excel (FCModeler.xlsm).

Перенесем значения в Лист1 книги Excel.

Щелкните дважды по таблице.

Выделите область с параметрми на появившемся листе Excel. Нажмите ПК мыши на листе

В контекстном меню нажмите Copy и затем Копировать

Откройте книгу Excel и вставьте скопированную область ячеек в область страницы, начиная с ячейки A1. Эту информацию можно использовать для долговременного хранения модели аналитической кривой в формате ГО Эрмита в книге Excel.


Перейдите в web-приложение на страницу Hermite3D, вставьте скопированный текст в I&M и нажмите кнопки [Data from Hermite Table in Excel] и [Create].


Библиография


1. C. de Boor, K.Holling, and M.Sabin. High accuracy Hermite interpolation. CAGD, 4(4):269-278,December 1987.


2. Муфтеев В.Г. Моделирование кривых высокого качества на основе метода v-кривых. Прикладная геометрия. Applied Geometry [Электронный ресурс]: науч. журн. / Моск. авиационный ин-т (гос.техн.университет) "МАИ". - Электрон. журн. - Москва : МАИ, 2007. - №19; вып.9, -стр. 25-74. - Режим доступа к журн.: http://www.mai.ru. - Загл. с титул. экрана. - №гос.регистрации 019164.


3. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве / Пер. с англ. М.: Мир, 1982. -304 с